Question

已知函数f（x）=mx-lnx-3（m∈R）．讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，存在x∈（0，+∞）使f（x）≤nx-4有解，求实数n的取值范围；
（2）当0＜a＜b＜4且b≠e时，试比较的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数f（x）在x=1处取得极值，知m=1，故f（x）≥nx-4?，由此能求出实数n的取值范围．
（2）由于0＜a＜b＜4且b≠e，则，又由（1）可知，在 （0，4）上是减函数，由此能够比较与的大小关系．
解答：解：（1）
则f'（1）=m-1=0，∴m=1，∴f（x）=x-lnx-3
由题意知x-ln3-3≤nx-4在x∈（0，+∞）有解
∴有解，
令，即n≥g（x）_min，
则函数f（x）在区间（0，e²）上单调递减，在区间（e²，+∞）上单调递增．
∴
∴
（2）由 （1）知在 （0，4）上是减函数
∵0＜a＜b＜4，∴g（a）＞g（b）
∴，∴b（1-lna）＞a（1-lnb）
当0＜b＜e时，1-lnb＞0，∴；
当e＜b＜4时，1-lnb＜0，∴．
点评：本题考查函数的求极值点的个数的求法，考查满足条件的实数的求法，考查不等式的证明．解题时要合理运用导数性质，注意等价转化思想和分类讨论思想的灵活运用．