Question

已知函数f（x）=m（x+

1

x

）的图象与h（x）=（x+

1

x

）+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+

a

4x

在（0，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由函数f（x）=m（x+

1

x

）的图象与h（x）=（x+

1

x

）+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）我们可以根据A是两个相互对称点的中点，求出函数f（x）=m（x+

1

x

）的图象上一点的坐标，然后构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值；
（2）利用单调性的定义，我们可以利用作差法，构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）设P（x，y）是h（x）图象上一点，点P关于A（0，1）的对称点为Q（x₀，y₀），则x₀=-x，y₀=2-y．
∴2-y=m，∴y=m+2，从而m=

1

4

．
（2）g（x）=

1

4

（x+

1

x

）+

a

4x

=

1

4

（x+

a+1

x

）．
设0＜x₁＜x₂≤2，
则g（x₁）-g（x₂）=

1

4

（x1+

a+1

x1

）-

1

4

（x2+

a+1

x2

）
=

1

4

（x₁-x₂）+

1

4

（a+1）•

x2-x1

x1x2

=

1

4

（x₁-x₂）•

x1x2-(a+1)

x1x2

＞0，
并且在x₁，x₂∈（0，2]上恒成立，
∴x₁x₂-（a+1）＜0，
∴1+a＞x₁x₂，1+a≥4，∴a≥3．

点评：本题考查的知识点是函数的对称性和奇偶性，其中利用函数的性质，将问题转化为一个方程问题或是不等式问题是解答本题的关键．