Question

已知函数f（x）=m•2^x+t的图象经过点A（1，1）、B（2，3）及C（n，S_n），S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*．
（1）求S_n及a_n；
（2）若数列{c_n}满足c_n=6na_n-n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）将点A（1，1）、B（2，3）代入函数解析式，得到关于m，t的方程解出参数的值，求得函数的解析式，再将点C（n，S_n），得到S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．再有n≥2时，a_n=S_n-S_n-1求a_n；
（2）由题意c_n=6na_n-n，求得数列{c_n}的通项公式，由其形式得到，需要先分组，再对其中的一组用错位相减法求和．另一组用公式求和．两者相加求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由

2m+t=1 4m+t=3

，得

m=1 t=-1

，
∴f（x）=2^x-1，∴S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．
当n=1时，S₁=a₁=1符合上式．
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）．
（2）由（1）知c_n=6na_n-n=3n×2ⁿ-n．
从而T_n=3（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n）
令M=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，
则2M=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹
作差整理得M=（n-1）•2ⁿ⁺¹
所以T_n=3（n-1）•2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

+6．

点评：本题考查数列与函数的综合，正确解答本题，关键是根据函数的由题意求出函数的解析式，以及观察数列{c_n}的通项公式的形式，用分组技巧与错位相减法的技巧求和，本题综合性强，对观察能力，转化能力要求较高，是一个能力型题．