Question

已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R₊，且

1

a

+

1

2b

+

1

3c

=m，求Z=a+2b+3c的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，转化不等式为绝对值不等式，即可求m的值；
（2）通过a，b，c∈R₊，且

1

a

+

1

2b

+

1

3c

=m，直接利用柯西不等式，求出Z=a+2b+3c的最小值．

解答：解：（1）因为f（x+2）=m-|x|，f（x+2）≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|-m≤x≤m}．
又f（x+2）≥0的解集为[-1，1]，故m=1．…（6分）
（2）由（1）知

1

a

+

1

2b

+

1

3c

=1，又a，b，c∈R₊，由柯西不等式得
Z=a+2b+3c=（a+2b+3c）（

1

a

+

1

2b

+

1

3c

）≥（

a• 1 a

+

2b• 1 2b

+

3c• 1 3c

）²=9．
∴Z=a+2b+3c 的最小值为9                                  …．（12分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法解法，柯西不等式求解表达式的最值，考查转化思想与计算能力．