Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*），且a₁=-1．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）是否存在一个实常数λ，使得数列{

1

an-λ

}为等差数列，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*），且a₁=-1，代入可求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）（Ⅱ）假设存在一个实常数λ，使得数列{

1

an-λ

}为等差数列，则

2

a2-λ

=

1

a1-λ

+

1

a3-λ

，求出λ，再验证即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*），且a₁=-1，
∴a₂=0，a₃=

1

3

；
（Ⅱ）假设存在一个实常数λ，使得数列{

1

an-λ

}为等差数列，则

2

a2-λ

=

1

a1-λ

+

1

a3-λ

，
∴

2

0-λ

=

1

-1-λ

+

1

1 3 -λ

，
∴λ=1，
∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=-

1

2

，
∵

1

a1-1

=-

1

2

，
∴存在一个实常数λ=1，使得数列{

1

an-λ

}为等差数列．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．