Question

13．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）设PD=AD=2，求点D到面PBC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$AD，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；
（II）要求棱锥D-PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长．

解答 （Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理得$BD=\sqrt{3}AD$．…（1分）
从而BD²+AD²=AB²，∴BD⊥AD，…（3分）
又由PD⊥底面ABCD，BD?面ABCD，可得BD⊥PD．…（4分）
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．…（6分）
（Ⅱ）解：作DE⊥PB，垂足为E．
已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，
由（Ⅰ）知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE．
则DE⊥平面PBC．…（8分）
由题设知，PD=2，则$BD=2\sqrt{3}$，PB=4，…（10分）
根据DE•PB=PD•BD，得$DE=\sqrt{3}$，
即点D到面PBC的距离为$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．