Question

1．在${（{\frac{1}{x}+1}）^3}{（{x+2}）^3}$的展开式中，常数项为（　　）

• A． 36
• B． 48
• C． 63
• D． 72

Answer 1

分析 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得k=2r，再分类讨论即可求得展开式中的常数项的值．

解答 解：${（{\frac{1}{x}+1}）^3}{（{x+2}）^3}$=（x+$\frac{2}{x}$+3）³的展开式的通项公式为C₃^k3^3-k（x+$\frac{2}{x}$）^k，
其中（x+$\frac{2}{x}$）^k的展开式的通项公式为C_k^r2^rx^k-2r，
当k-2r=0时，即k=2r时x的系数为0，即为常数项，
若k=0时，其常数项C₃⁰3³=27，
若k=2时，r=1，其常数项C₂¹2¹C₃²3¹=36，
故在${（{\frac{1}{x}+1}）^3}{（{x+2}）^3}$的展开式中，常数项为27+36=63，
故选：C．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，分类是关键，属于中档题．