题目内容
19．已知数列{an}中，a1=1，a2=3，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+an+1，C（n）=a3+a4+…+an+2（n∈N*），若对于任意n∈N*，A（n），B（n），C（n）成等差数列，则A（n）=（ ）| A． | 3n-1 | B． | 2n-1+n2-1 | C． | 2n2-3n+2 | D． | n2 |
分析 对于任意n∈N*，A（n），B（n），C（n）成等差数列，可得：2B（n）=A（n）+C（n），化为：an+2-an+1=a2-a1=2，对于任意n∈N*都成立．可得数列{an}是等差数列．
解答 解：∵对于任意n∈N*，A（n），B（n），C（n）成等差数列，
∴2B（n）=A（n）+C（n），
∴2（a2+a3+…+an+1）=a1+a2+…+an+a3+a4+…+an+2，
化为：a2+an+1=a1+an+2，
即an+2-an+1=a2-a1=2，对于任意n∈N*都成立．
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴A（n）=a1+a2+…+an=$n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n2．
故选：D．
点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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10．
如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，-1），B（π，-1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，-1），B（π，-1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）| A． | $\sqrt{2}$+1 | B． | $\sqrt{2}$-1 | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
4．若-$\frac{π}{2}$＜x＜0，当函数f（x）=$\frac{1+cos2x+1{8sin}^{2}x}{sin2x}$取最大值时，tan2x的值为（ ）
| A． | -2 | B． | -3 | C． | -$\frac{1}{3}$ | D． | -$\frac{3}{4}$ |
11．n∈N，A=（$\sqrt{7}$+2）2n+1，B为A的小数部分，则AB的值应是（ ）
| A． | 72n+1 | B． | 22n+1 | C． | 32n+1 | D． | 52n+1 |