Question

9．设数列{a_n}满足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{{a}_{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$，记S_n是数列{a_n}的前n项和，则S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$\frac{{4}^{2016}-1}{3}$．

Answer 1

分析 由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{{a}_{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$，可得：n为奇数时，a_n=n；n为偶数时a_n=${a}_{\frac{n}{2}}$．可得S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$（{a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{{2}^{2016}-1}）$+${S}_{{2}^{2015}-1}$=2⁴⁰³⁰+${S}_{{2}^{2015}-1}$，即S${\;}_{{2}^{2016}-1}$-${S}_{{2}^{2015}-1}$=4²⁰¹⁵，利用“累加求和”方法与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{{a}_{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$，
∴n为奇数时，a_n=n；
n为偶数时a_n=${a}_{\frac{n}{2}}$．
∴S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$（{a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{{2}^{2016}-1}）$+${S}_{{2}^{2015}-1}$=$\frac{{2}^{2015}×（1+{2}^{2016}-1）}{2}$+${S}_{{2}^{2015}-1}$=2⁴⁰³⁰+${S}_{{2}^{2015}-1}$，
∴S${\;}_{{2}^{2016}-1}$-${S}_{{2}^{2015}-1}$=4²⁰¹⁵，
${S}_{{2}^{2015}-1}$-${S}_{{2}^{2014}-1}$=4²⁰¹⁴，
…，
${S}_{{2}^{3}-1}-{S}_{{2}^{2}-1}$=4²，
${S}_{{2}^{2}-1}$=S₃=a₁+a₂+a₃=1+1+3=5，
∴S${\;}_{{2}^{2016}-1}$-5=$\frac{16（{4}^{2014}-1）}{4-1}$，
∴S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$\frac{{4}^{2016}-1}{3}$．
故答案为：$\frac{{4}^{2016}-1}{3}$．

点评 本题考查了递推关系、“累加求和”方法与等比数列的前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．