Question

【题目】已知函数 f （ x ）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ）+2sin x cos x．
（Ⅰ）求函数 f （ x） 图象的对称轴方程；
（Ⅱ）将函数 y=f （ x） 的图象向右平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g （ x） 的图象，求 y=g （ x） 在[ ，2π]上的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f （ x ）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ）+2sinxcosx = sin2x+ cos2x+ cos2x﹣ sin2x+sin2x
= cos2x+sin2x
=2sin（2x+ ），
∴令2x+ =kπ+ ，k∈Z，解得函数 f （ x） 图象的对称轴方程：x= + ，k∈Z，
（Ⅱ）将函数 y=f （ x） 的图象向右平移 个单位，可得函数解析式为：y=2sin[2（x﹣ ）+ ]=2sin（2x+ ），
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 解析式为：y=g （ x）=2sin（ + ），
∵x∈[ ，2π]，
∴ + ∈[ ， ]，可得：sin（ + ）∈[﹣ ，1]，
∴g （ x）=2sin（ + ）∈[﹣1，2]
【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （ x ）=2sin（2x+ ），令2x+ =kπ+ ，k∈Z，解得函数 f （ x） 图象的对称轴方程．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g （ x）=2sin（ + ），由x∈[ ，2π]，利用正弦函数的性质可求值域．
【考点精析】关于本题考查的函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，需要了解图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象才能得出正确答案．