Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设p：“a：b：c=A：B：C”，q：“△ABC是正三角形”，则（　　）

• A． p是q的充分不必要条件
• B． p是q的必要但不充分条件
• C． p是q的充要条件
• D． p是q的既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据正弦定理化简BsinA=AsinB，且CsinB=BsinC，假设A≥B和B≥C代入式子，即可得到三个角相等，即可证明△ABC为正三角形．

解答 解：a：b：c=A：B：C
即：$\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}$；
即：$\frac{sinA}{A}=\frac{sinB}{B}=\frac{sinC}{C}$
则BsinA=AsinB，且CsinB=BsinC，
若A≥B，则sinA≥sinB，即cosB≤cosC，得B≥C，则A≥C
同理若B≥C，则sinB≥sinC，即cosC≤cosA，得C≥A，
所以$\left\{\begin{array}{l}{A≥C}\\{C≥A}\end{array}\right.$，得A=C，
当A=C时，得sinB=sinC，则B=C，
若假设相反，同样能得上述结论，
所以△ABC为正三角形，
故p是q的充要条件，
故选：C．

点评 题考查了正弦定理的灵活应用，属于中档题．