Question

12．如图，A₁，A₂，A₃，…A_n分别是抛物线y=x²上的点，A₁B₁垂直与x轴，A₁C₁垂直于y轴，线段B₁C₁交抛物线与A₂，再作A₂B₂⊥x轴，A₂C₂⊥y轴，线段B₂C₂交抛物线于A₃，这样下去，分别可以得到A₄，A₅，…，A_n，其中A₁的坐标为（1，1），则S${\;}_{矩形{A}_{n}{B}_{n}O{C}_{n}}$=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）^3n-3．．

Answer 1

分析 求出n=1，2，3，4时的对应矩形面积，寻找其规律，得出结论．

解答 解：n=1时，S${\;}_{矩形{A}_{1}{B}_{1}O{C}_{1}}$=1
n=2时，直线B₁C₁方程为x+y=1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$
得x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，y=$（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}$
即A₂（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}$）．
∴S${\;}_{矩形A{{\;}_{2}B}_{2}O{C}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$•$（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}$=$（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{3}$．
n=3时，直线B₂C₂方程为$\frac{x}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$+$\frac{y}{（{\frac{\sqrt{5}-1}{2}）}^{2}}$=1，即$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x+y-（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²=0．
将y=x²代入上式得x²+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x-（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²=0，
解得x=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²，即A₃（（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²，（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）⁴）．
∴S${\;}_{矩形{A}_{3}{B}_{3}O{C}_{3}}$=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²•（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）⁴=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）⁶．
n=4时，直线B₃C₃方程为$\frac{x}{（{\frac{\sqrt{5}-1}{2}）}^{2}}$+$\frac{y}{（{\frac{\sqrt{5}-1}{2}）}^{4}}$=1，即（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²x+y-（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）⁴=0．
将y=x²代入上式得x²+（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²x-（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）⁴=0，
解得x=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）³．即A₄（（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）³，（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）⁶）．
∴S${\;}_{矩形{A}_{4}{B}_{4}O{C}_{4}}$=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）³•（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）⁶=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）⁹．
…
∴S${\;}_{矩形{A}_{n}{B}_{n}O{C}_{n}}$=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）^3n-3．
故答案为（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）^3n-3．

点评 本题考查了不完全归纳法，计算难度大，属于中档题．