Question

15．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，a=$\sqrt{5}$，2sinA+$\sqrt{15}$sinB=2$\sqrt{5}$sinC，且△ABC的面积S_△ABC=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，则b=4．

Answer 1

分析 由三角形的面积公式和向量数量积的定义，结合同角的平方关系，可得cosB，再由余弦定理和正弦定理，解方程即可得到b的值．

解答 解：△ABC的面积S_△ABC=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，
即为$\frac{1}{2}$acsinB=cacosB，即sinB=2cosB，
又sin²B+cos²B=1，
解得cosB=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
由余弦定理可得cosB=$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ca}$，
即为$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{{c}^{2}+5-{b}^{2}}{2\sqrt{5}c}$，①
由正弦定理可得，
2sinA+$\sqrt{15}$sinB=2$\sqrt{5}$sinC，即为2a+$\sqrt{15}$b=2$\sqrt{5}$c，
即为2+$\sqrt{3}$b=2c，②
由①②解得b=4．
故答案为：4．

点评 本题考查向量的数量积的定义和解三角形的正弦定理、余弦定理及面积公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．