Question

5．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α为参数，α∈[0，π]），直线l的极坐标方程为$ρ=\frac{4}{{\sqrt{2}sin（{θ-\frac{π}{4}}）}}$．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）P为曲线C上任意一点，Q为直线l任意一点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程消去参数α，能求出曲线C的普通方程；直线l的极坐标方程转化为ρsinθ-ρcosθ=4，由此能求出直线l的直角坐标方程．
（2）设P（1+cosα，sinα），α∈[0，π]），求出P到直线l的距离，结合三角函数的性质能求出|PQ|的最小值．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α为参数，α∈[0，π]），
∴曲线C的普通方程为（x-1）²+y²=1．（y≥0）．
∵直线l的极坐标方程为$ρ=\frac{4}{{\sqrt{2}sin（{θ-\frac{π}{4}}）}}$，
即ρsinθ-ρcosθ=4，
∴直线l的直角坐标方程为x-y+4=0．
（2）∵P为曲线C上任意一点，Q为直线l任意一点，
∴设P（1+cosα，sinα），α∈[0，π]，
则P到直线l的距离：
d=$\frac{|1+cosα-sinα+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{2}sin（α+\frac{3π}{4}）+5|}{\sqrt{2}}$，
∵α∈[0，π]，∴当α=$\frac{3π}{4}$时，d_min=$\frac{5-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$．
∴|PQ|的最小值为$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$．

点评 本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查线段长的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．