Question

【题目】设函数f（x）=eax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜ ，e是自然对数的底数
（1）求证：函数f（x）有两个极值点；
（2）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．

Answer 1

【答案】
（1）证明： f′（x）=aeax+ = ，（x＞0），

令g（x）=axeax+λ，其中a＜0，x＞0，

求导得：g′（x）=aeax（1+ax），

令g′（x）=0，解得：x=﹣ ，

x∈（0，﹣ ）时，g′（x）＜0，g（x）递减，

x∈（﹣ ，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，

x=﹣ 时，g（x）取得极小值，也是最小值g（﹣ ）=λ﹣ ，

∵0＜λ＜ ，∴g（﹣ ）=λ﹣ ＜0，又g（0）=λ＞0，

∴g（﹣ ）g（0）＜0，

∴函数f（x）有两个极值点；

（2）证明：由（1）得：

不妨令x2∈（﹣ ，+∞），

故ax2 +λ=0，

故f（x2）=（1﹣ax2lnx2） ，

令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣ ，+∞），

h′（x）=﹣a（lnx+1）＞﹣a（ln +1）=0，

∴f（x2）＞0，∵f（0）→负数，

∴函数f（x）有唯一零点．

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值点的个数；（2）根据函数的单调性，令x2∈（﹣ ，+∞），故f（x2）=（1﹣ax2lnx2） ，令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣ ，+∞），根据函数的单调性判断即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．