Question

【题目】某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=axb（a，b为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

尺寸（mm）	38	48	58	68	78	88
质量（g）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（ ， ）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．
附：对于一组数据（v1 ， u1），（v2 ， u2），…，（vn ， un），其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = ， = ﹣ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）对y=axb（a，b＞0）两边取科学对数得lny=blnx+lna，

令vi=lnxi，ui=lnyi得u=bv+lna，

由 = ，

ln =1， =e，

故所求回归方程为 ．

（Ⅱ）由 ，

x=58，68，78，即优等品有3件，

ξ的可能取值是0，1，2，3，且 ，

，

，

．

其分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

∴

【解析】（Ⅰ）对y=axb（a，b＞0）两边取科学对数得lny=blnx+lna，令vi=lnxi，ui=lnyi得u=bv+lna，由最小二乘法求得系数 及 ，即可求得y关于x的回归方程；（Ⅱ）由题意求得优等品的个数，求得随机变量ξ取值，分别求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），求得其分布列和数学期望．