题目内容
设a∈R，关于x的一元二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0有两实数根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2．
（1）求a的取值范围；
（2）比较a3与a2-a+1的大小．
（1）求a的取值范围；
（2）比较a3与a2-a+1的大小．
考点：函数的零点与方程根的关系,函数零点的判定定理,不等式比较大小
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据一元二次方程根的分布关系，建立条件关系，即可求a的取值范围；
（2）利用作差法，即可比较a3与a2-a+1的大小．
（2）利用作差法，即可比较a3与a2-a+1的大小．
解答：
解：（1）记函数f（x）=7x2-（a+13）x+a2-a-2，其图象是一条开口向上的抛物线，
一元二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0的两个实数根x1，x2即为函数f（x）的零点，则
若0＜x1＜1＜x2＜2，则
，
即
，∴
，
∴-2＜a＜-1，或3＜a＜4，
即满足条件时，实数a的取值范围是-2＜a＜-1，或3＜a＜4．
（2）∵a3-（a2-a+1）=（a3-a2）+（a-1）=（a-1）（a2+1）
∴当3＜a＜4时，a-1＞0，则a3＞a2-a+1；
当-2＜a＜-1时，a-1＜0，则a3＜a2-a+1．
一元二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0的两个实数根x1，x2即为函数f（x）的零点，则
若0＜x1＜1＜x2＜2，则
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即
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∴-2＜a＜-1，或3＜a＜4，
即满足条件时，实数a的取值范围是-2＜a＜-1，或3＜a＜4．
（2）∵a3-（a2-a+1）=（a3-a2）+（a-1）=（a-1）（a2+1）
∴当3＜a＜4时，a-1＞0，则a3＞a2-a+1；
当-2＜a＜-1时，a-1＜0，则a3＜a2-a+1．
点评：本题主要考查一元二次方程根的分布，利用方程和函数之间的关系是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
若x+y=0，则2x+2y的最小值是（ ）
A、
| ||
| B、1 | ||
| C、2 | ||
| D、4 |
如图，已知四边形OABC与OADE是两个全等的矩形，M，N分别是OD与AC上两点，且OM=AN，过M作MM1∥OA交OE于点M1，连接M1N．