Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=1，AA₁=BC=2，点D在侧棱AA₁上．
（1）若D为AA₁的中点，求证：C₁D⊥平面BCD；
（2）若A₁D=$\sqrt{2}$，求二面角B-C₁D-C的大小．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面AA₁C₁C．推出BC⊥C₁D，证明CD⊥C₁D，即可证明C₁D⊥平面BCD．
（2）作CE⊥C₁D，垂足为E，连BE，说明∠BEC为二面角B-C₁D-C的平面角．Rt△BCE中，tan∠BEC=$\frac{BC}{CE}$求解即可．

解答 解：（1）证明：由已知，AA₁⊥BC，AC⊥BC，则BC⊥平面AA₁C₁C．
因为C₁D?平面AA₁C₁C，则BC⊥C₁D．①（2分）
因为D为AA₁的中点，则AD=AC=1，
又AD⊥AC，则△CAD为等腰直角三角形，所以∠ADC=45°．
同理∠A₁DC₁=45°．
所以∠CDC₁=90°，即CD⊥C₁D．②（5分）
结合①②知，C₁D⊥平面BCD．（6分）

（2）作CE⊥C₁D，垂足为E，连BE，如图．
因为BC⊥平面AA₁C₁C，则BC⊥C₁D，所以C₁D⊥平面BCE，
则C₁D⊥BE，所以∠BEC为二面角B-C₁D-C的平面角．（8分）
因为A₁D=$\sqrt{2}$，A₁C₁=1，则C₁D=$\sqrt{3}$．
在△CC₁D中，CC₁=2，CC₁边上的高为1，则其面积为1．
所以$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×CE=1，得CE=$\frac{2}{\sqrt{3}}$．（10分）
在Rt△BCE中，tan∠BEC=$\frac{BC}{CE}$=$\sqrt{3}$，则∠BEC=60°，所以二面角的大小为60°．（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．