Question

6．证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．

Answer 1

分析 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，设O、P、M、N分别是AC′、BD′、CA′、DB′的中点，推导出$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}）$，由此能证明对角线AC′、BD′、CA′、DB′交于一点，且在交点处互相平分．

解答 已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，求证：对角线AC′、BD′、CA′、DB′交于一点，且在交点处互相平分．
证明：如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，
设O是AC′的中点，则$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C}^{'}}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}）}$，
设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点，
则$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{D}^{'}}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{'}}）$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}）$，
同理，得：$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}）$，
$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}）$，
∴O、P、M、N四点重合，
∴对角线AC′、BD′、CA′、DB′交于一点，且在交点处互相平分．

点评 本题考查平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．