Question

16．已知函数f（x）=x²-2x，试讨论函数f（x²-3）的单调性．

Answer 1

分析 可设x²-3=t，t≥-3，从而看出原函数是由f（t）和t=x²-3复合而成的，这样先判断f（t）在t≥-3上的单调性：容易得出，f（t）在[-3，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，然后找出区间[-3，1]，和（1，+∞）的x所对应的区间，在对应区间里判断函数t=x²-3的单调性，这样根据复合函数的单调性特点即可得出原函数的单调区间，即判断出原函数的单调性．

解答 解：设x²-3=t，t≥-3，∴函数f（x²-3）是由f（t）和t=x²-3复合而成；
f（t）=t²-2t=（t-1）²-1；
f（t）在[-3，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
t=-3时，x=0，t=1时，x=±2；
而t=x²-3在[-2，0]单调递减，在[0，2]单调递增，在（-∞，-2）单调递减，在（2，+∞）上单调递增；
∴根据复合函数单调性知：f（x²-3）在[-2，0]，（2，+∞）上单调递增，在[0，2]，（-∞，-2）上单调递减．

点评 考查换元法在判断函数单调性中的运用，掌握复合函数单调性的判断方法及过程，以及二次函数的单调性的判断．