Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：当n≥2时，a_n+3S_n•S_n-1=0，且a₁=$\frac{1}{3}$，S_n≠0．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，将a_n+3s_n•s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），变形为S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0．进而得到$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=3；
（2）利用等差数列的通项公式即可得出S_n，代入a_n+3S_n•S_n-1=0求得数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：∵a_n+3s_n•s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），∴S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=3．
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=3为首项，3为公差的等差数列；
（2）解：∵{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=3为首项，3为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=3+（n-1）×3，解得${S}_{n}=\frac{1}{3n}$，n=1时也成立．
∴a_n=-3S_n•S_n-1=$-\frac{3}{3n•3（n-1）}=-\frac{1}{3n（n-1）}$（n≥2）．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}，n=1}\\{-\frac{1}{3n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，熟练掌握a_n与S_n的相互转化、等差数列的通项公式是解答该题的关键，是中档题．