Question

12．如图所示，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若三棱锥A-BCD中，AB=AC=2，求点D到平面ABC的距离

Answer 1

分析 （1）取BD的中点O，连接AO，CO，证明BD⊥平面AOC，即可证明BD⊥AC；
（2）取AC的中点E，连接BE，DE，过点D做DH⊥BE于H，证明DH⊥平面ABC，利用等面积求点D到平面ABC的距离．

解答 （1）证明：取BD的中点O，连接AO，CO，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴AC⊥BD．
故在折叠后的△ABD和△BCD中，有BD⊥AO，BD⊥CO．
又AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC．
∵AC?平面AOC，∴BD⊥AC；
（2）取AC的中点E，连接BE，DE，过点D做DH⊥BE于H，则△ABC，△ACD为等边三角形，
∴BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE=E，
∴AC⊥平面BDE，
∵AC?平面ABC，
∴平面BDE⊥平面ABC，
∴DH⊥平面ABC，
∴DH为D到平面ABC的距离，
在△BDE中，BE=DE=$\sqrt{3}$，BD=2$\sqrt{2}$，BD上的高h=1，
∴DH=$\frac{BD•h}{BE}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴D到平面ABC的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．