Question

1．已知梯形ABCP，如图（1）所示，D是CP边的中点，AB∥PC，且2AB=PC，△APD为等边三角形，现将平面APD沿AD翻折，使平面APD⊥平面ABCD，得到如图（2）所示的四棱锥P-ABCD，点M在棱PC上，且PM=$\sqrt{3}$MC．
（1）证明：AD⊥PB；
（2）求二面角P-AD-M的大小．

Answer 1

分析 （1）取AD中点O，连结OP，OB，由已知条件推导出AD⊥平面POB，由此能证明AD⊥PB．
（2）分别以射线OB，OD，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AD-M的大小．

解答 （1）证明：取AD中点O，连结OP，OB，
依题意得△PAD，△ABD均为正三角形，∴OB⊥AD，OP⊥AD，
又OP∩OB=O，OB?平面POB，OP?平面POB，
∴AD⊥平面POB，
又PB?平面POB，∴AD⊥PB．
（2）解：分别以射线OB，OD，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设CD=2，则P（0，0，$\sqrt{3}$），A（0，-1，0），D（0，1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}$，2，0），
则$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，2，-$\sqrt{3}$），
由点M在PC上，且PM=$\sqrt{3}PC$，得M（$\frac{3}{\sqrt{3}-1}，\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}，\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{3}{\sqrt{3}+1}，\frac{3\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}，\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$），$\overrightarrow{AD}=（0，2，0）$，
设平面MAD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{3}{\sqrt{3}+1}x+\frac{3\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}y+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），
又平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow{OC}$=（$\sqrt{3}，0，0$），
设二面角P-AD-M的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OC}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{2•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴二面角P-AD-M的大小为60°．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用，注意空间思维能力的培养．