Question

2．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，E为C₁C的中点，点F是BB₁上是BF=$\frac{1}{4}$BB₁，AC=AA₁=2a，求平面EFA与面ABC所成角的大小．

Answer 1

分析 以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF的法向量和平面ABC的法向量，由此利用向量法能求出平面平面EFA与面ABC所成角的大小．

解答 解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（$\sqrt{2}a$，0，0），F（0，0，$\frac{a}{2}$），E（0，$\sqrt{2}a$，a），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{2}a，\sqrt{2}a$，a），$\overrightarrow{AF}$（-$\sqrt{2}a，0，\frac{a}{2}$），
设平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-\sqrt{2}ax+\sqrt{2}ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-\sqrt{2}ax+\frac{a}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，4$），
又平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面平面EFA与面ABC所成角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{4}{\sqrt{20}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴平面平面EFA与面ABC所成角的大小为arccos$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．