Question

函数f(x)=2x-

a

x

的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）＞5在定义域上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用单调性的定义，根据函数y=f（x）在定义域上是减函数，可得不等式a＜-2x₁x₂恒成立，从而可求a的取值范围；
（2）f（x）＞5在定义域上恒成立，即2x-

a

x

＞5（x∈（0，1]）恒成立，即a＜2x²-5x（x∈（0，1]）恒成立，求出右边对应的函数在定义域内的最小值，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数y=f（x）在定义域上是减函数，
∴任取x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂，恒有f（x₁）＞f（x₂），
∴2x1-

a

x1

-2x2+

a

x2

＞0
∴(x1-x2)(2+

a

x1x2

)＞0
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
即a＜-2x₁x₂恒成立，
∵1＞x₁x₂＞0
∴a≤-2
（2）f（x）＞5在定义域上恒成立，
即2x-

a

x

＞5在x∈（0，1]上恒成立
∵0＜x≤1
∴2x²-a＞5x
∴a＜2x²-5x在x∈（0，1]上恒成立
∵2x²-5x=2(x-

5

4

)2-

25

8

∴函数y=2x²-5x在（0，1]上单调减
∴x=1时，函数取得最小值-3
∴a＜-3．

点评：本题重点考查函数的单调性，考查二次函数的最值，解题的关键是利用单调性的定义，利用分离参数法解决恒成立问题．