Question

已知定义域为R的函数f(x)=

2x-1

a+2x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（1）+f（-1）=0，即可解得a的值，并利用定义检验即可；
（2）判断：单调递增．设x₁∈R，x₂∈R且x₁＜x₂，只要证明f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；
（3）利用函数f（x）的奇偶性和单调性可得：对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立?mt²+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立．对m分类讨论和利用二次函数的性质即可得出．

解答：解：（1）由f（1）+f（-1）=0，得

4

a+1

+

- 1 2

a+1

=0 ⇒ a=2．
检验：a=2时，f(x)=

2x-1

2+2x+1

f(-x)=

2-x-1

2+2-x+1

=

2x(2-x-1)

2x(2+2-x+1)

=

1-2x

2x+1+2

，
∴f（x）+f（-x）=0对x∈R恒成立，即f（x）是奇函数．
（2）判断：单调递增．
证明：设x₁∈R，x₂∈R且x₁＜x₂，
则

f(x1)-f(x2)= 2x1-1 2+2x1+1 - 2x2-1 2+2x2+1 = 1 2 ( 2x1-1 2x1+1 - 2x2-1 2x2+1 )

=

1

2

[(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)]=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x1＜x2∴2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0．
又2x1+1＞0，2x2+1＞0，∴

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在R上是增函数．
（3）∵f（x）是奇函数，∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0?f（mt²+1）＞f（mt-1），
∵f（x）在R上是增函数，∴对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，
即mt²+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立，
即mt²-mt+2＞0对任意的t∈R恒成立．
m=0时，不等式即为2＞0恒成立，合题意；
m≠0时，有

m＞0 △=m2-8m＜0

即0＜m＜8．
综上：实数m的取值范围为0≤m＜8

点评：本题综合考查了函数的奇偶性和单调性、“三个二次的关系”、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．