Question

已知函数f(x)=

2

x

+alnx-2(a＞0)．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，
求出导数小于0的区间即为函数的减区间．
（Ⅱ） 根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a-1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a-1），
从而求得a的取值范围．
（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，得到

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，
 解出实数b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，所以，f′(1)=-

2

12

+

a

1

=-1，所以，a=1．
所以，f(x)=

2

x

+lnx-2，f′(x)=

x-2

x2

． 由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．
（Ⅱ）  f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，由f'（x）＞0解得 x＞

2

a

； 由f'（x）＜0解得 0＜x＜

2

a

．
所以，f（x）在区间(

2

a

，+∞)上单调递增，在区间(0，

2

a

)上单调递减．
所以，当x=

2

a

时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)．因为对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以，f(

2

a

)＞2(a-1)即可． 则

2

2 a

+aln

2

a

-2＞2(a-1)． 由aln

2

a

＞a解得 0＜a＜

2

e

．
所以，a的取值范围是  (0，

2

e

)．
（Ⅲ） 依题得 g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，则 g′(x)=

x2+x-2

x2

．
由g'（x）＞0解得  x＞1；   由g'（x）＜0解得  0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，
解得 1＜b≤

2

e

+e-1．   所以，b的取值范围是(1，

2

e

+e-1]．

点评：本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．