Question

12．三棱锥S-ABC的顶点S在平面ABC内的射影为P，给出下列条件，一定可以判断P为三角形ABC的垂心的有（　　）个
①SA=SB=SC
②SA，SB，SC两两垂直　
③∠ABC=90°，SC⊥AB
④SC⊥AB，SA⊥BC．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由斜线相等得到射影相等判断①；利用线面垂直的判定和性质结合垂心概念判断②③④．

解答 解：如图，
对于①，由SA=SB=SC，可得PA=PB=PC，可得P为底面三角形ABC的外心；
对于②，SA，SB，SC两两垂直．
由SB⊥SA，SB⊥SC，可得SB⊥平面SAC，则SB⊥AC，
又SP⊥平面ABC，∴SP⊥AC，则AC⊥平面SPB，则PB⊥AC．同理可得PA⊥BC，则P为底面三角形ABC的垂心；
对于③，由∠ABC=90°，得AB⊥BC，又SC⊥AB，得AB⊥平面SBC，∴平面ABC⊥平面SBC，则S在底面的射影P在BC上，不一定为底面三角形的垂心；
对于④，SC⊥AB，SA⊥BC．
由SP⊥平面ABC，得SP⊥AB，又SC⊥AB，则AB⊥平面SPC，则AB⊥PC，同理可得AC⊥PB，可得P为底面三角形的垂心．
∴可以判断P为三角形ABC的垂心的有2个．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．