Question

14．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$）
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）O为极点，A，B为圆C上的两点，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （I）圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），展开可得：ρ²=4ρ$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，利用互化公式即可得出直角坐标方程．
（II）不妨设A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{3}）$．代入ρ₁+ρ₂=4sin（θ-$\frac{π}{6}$）+4sin（θ+$\frac{π}{6}$）化简整理即可得出．

解答 解：（I）圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），展开可得：
ρ²=4ρ$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，
可得直角坐标方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$y-2x．
配方为（x+1）²+$（y-\sqrt{3}）^{2}$=4．
（II）不妨设A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{3}）$．
∴ρ₁+ρ₂=4sin（θ-$\frac{π}{6}$）+4sin（θ+$\frac{π}{6}$）=8$sinθcos\frac{π}{6}$=4$\sqrt{3}$sinθ≤4$\sqrt{3}$，
当且仅当sinθ=1时取得最大值4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、和差公式、三角函数的单调性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．