Question

2．△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB=$\frac{3}{4}$．
（1）求$\frac{c}{a}$的值；
（2）设$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由等比数列性质得b²=ac，由余弦定理能求出$\frac{c}{a}$的值．
（2）由已知得$cacos{B}=\frac{3}{2}$，再由$\frac{c}{a}=2$或$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，能求出c+a．

解答 解：（1）因为a，b，c成等比数列，所以b²=ac，
由余弦定理可知：$cos{B}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{2ac}=\frac{1}{2}（{\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-1}）$，
又$cos{B}=\frac{3}{4}$，故$\frac{1}{2}（{\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-1}）=\frac{3}{4}$，解得$\frac{c}{a}=2$或$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
（2）因为$\overrightarrow{{B}{A}}•\overrightarrow{{B}C}=\frac{3}{2}$，所以$cacos{B}=\frac{3}{2}$，
所以ca=2，又$\frac{c}{a}=2$或$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故c+a=3．

点评 本题考查三角形中线段比值及两线段和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列性质及余弦定理的合理运用．