题目内容
证明：若在（a，b）内f″（x）＞0，则f（λ1x1+λ2x2）≤λ1f（x1）+λ2f（x2），其中λ1+λ2=1．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：证明题,导数的综合应用
分析：由题意可判断f（x）是定义在闭区间[a，b]上凸函数，再由凸函数的定义证明．
解答：
证明：∵在（a，b）内f″（x）＞0，
∴f（x）是定义在闭区间[a，b]上凸函数；
而根据上凸函数的定义“f（x）是定义在闭区间[a，b]上的函数，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”；
故取x=x1，y=x2，λ=λ1，1-λ=1-λ1=λ2，
而任意正数λ1，λ2，λ1+λ2=1，x1、x2∈（a，b）；
得不等式f（λ1x1+λ2x2）≤λ1f（x1）+λ2f（x2）对于任意的x1，x2∈（a，b）恒成立．
∴f（x）是定义在闭区间[a，b]上凸函数；
而根据上凸函数的定义“f（x）是定义在闭区间[a，b]上的函数，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”；
故取x=x1，y=x2，λ=λ1，1-λ=1-λ1=λ2，
而任意正数λ1，λ2，λ1+λ2=1，x1、x2∈（a，b）；
得不等式f（λ1x1+λ2x2）≤λ1f（x1）+λ2f（x2）对于任意的x1，x2∈（a，b）恒成立．
点评：本题考查了凸函数的判断与凸函数的定义的应用及判断，属于基础题．
练习册系列答案
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A、（1，
| ||
| B、（1，3） | ||
| C、（-∞，-2）∪（1，+∞） | ||
| D、（-2，1） |