Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点．
（1）求证：AB₁∥平面C₁DB； 
（2）求异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）如图所示，连接B₁C交BC₁于E，连接DE，利用四边形BCC₁B₁是平行四边形及其三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明；
（2）由（1）知∠DEB或其补角为异面直线AB₁与BC₁所成的角，再利用余弦定理即可得出．

解答：（1）证明：如图所示，
连接B₁C交BC₁于E，连接DE，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，∴B₁E=EC．
又AD=DC．
∴DE∥AB₁，
而DE?平面C₁DB，AB₁?平面C₁DB，
∴AB₁∥平面C₁DB．
（2）解：由（1）知∠DEB或其补角为异面直线AB₁与BC₁所成的角，
在△DEB中，DE=5，BD=4

3

，BE=5．
∴cos∠DEB=

52+52-(4 3 )2

2×5×5

=

1

25

．

点评：本题考查了正三棱柱的性质、平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．