Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求二面角B-AB₁-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）由已知中正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1，我们易根据正三角形的性质及棱柱的几何特征，得到AD⊥B₁B，及AD⊥BD，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，即可得到平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）连接A₁B，交AB₁于E，连DE，由矩形的性质及三角形中位线定理，可得DE∥A₁C，再由线面平行的判定定理，即可得到A₁C∥平面AB₁D；
（3）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB₁于G，连接DG．我们可以得到∠DGF为二面角B-AB₁-D的平面角．解三角形DGF，即可求出二面角B-AB₁-D的正切值．

解答：解：（1）证明：因为B₁B⊥平面ABC，AD?平面ABC，
所以AD⊥B₁B（1分）
因为D为正△ABC中BC的中点，
所以AD⊥BD（2分）
又B₁B∩BC=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁（3分）
又AD?平面AB₁D，故平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁（4分）
（2）连接A₁B，交AB₁于E，连DE（5分）
因为点E为矩形A₁ABB₁对角线的交点，所以E为AB₁的中点（6分）
又D为BC的中点，所以DE为△A₁BC的中位线，
所以DE∥A₁C（7分）
又DE?平面AB₁D，所以A₁C∥平面AB₁D（8分）
（3）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB₁于G，连接DG．
因为平面A₁ABB₁⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A₁ABB₁．
又AB₁?平面A₁ABB₁，所以AB₁⊥DF．
又FG⊥AB₁，所以AB₁⊥平面DFG，所以AB₁⊥DG．（9分）
又AB₁⊥FG，所以∠DGF为二面角B-AB₁-D的平面角．（10分）
因为AA₁=AB=1，
所以在正△ABC中，DF=

3

4

在△ABC中，FG=

3

4

BE=

3 2

8

（11分）
所以在Rt△DFG中，tan∠DFG=

DF

FG

=

6

3

（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，用空间向量求平面的夹角，其中（3）中在求二面角的大小时，找出二面角的平面角是最关键的步骤．