Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的每条棱长均为a，M为棱A₁C₁上的动点．
（1）当M在何处时，BC₁∥平面MB₁A，并证明之；
（2）在（1）下，求平面MB₁A与平面ABC所成的二面角的大小；
（3）求B-AB₁M体积的最大值．

Answer 1

分析：（I）当M在A₁C₁中点时，BC₁∥平面MB₁A．连接NB₁并延长与CB延长线交于G，在△CGN中，利用BC₁为中位线得BC₁∥GN，从而可证BC₁∥平面MAB₁；
（II）可证∠MAC为平面MB₁A与平面ABC所成二面角的平面角，进而可求；
（Ⅲ）设动点M到平面A₁ABB₁的距离为h_M，利用等体积进行转化，从而可求B-AB₁M体积最大值．

解答：解：（I）当M在A₁C₁中点时，BC₁∥平面MB₁A
∵M为A₁C₁中点，延长AM、CC₁，使AM与CC₁延长线交于N，则NC₁=C₁C=a
连接NB₁并延长与CB延长线交于G，则BG=CB，NB₁=B₁G     （2分）
在△CGN中，BC₁为中位BC₁∥GN
又GN?平面MAB₁，∴BC₁∥平面MAB₁ （4分）
（II）∵△AGC中，BC=BA=BG∴∠GAC=90°
即AC⊥AG     又AG⊥AA₁    AA₁∩AC=A∴AG⊥平面A₁ACC₁，AG⊥AM（6分）
∴∠MAC为平面MB₁A与平面ABC所成二面角的平面角∴tan∠MAC=

a

1 2 a

=2
∴所求二面角为 arctan2．（8分）
（Ⅲ）设动点M到平面A₁ABB₁的距离为h_M．VB-AB1M=VM-AB1B=

1

3

S△ABB1•hM=

1

3

•

1

2

a2hM≤

1

6

a2•

3

2

a=

3

12

a3
即B-AB₁M体积最大值为

3

12

a3．此时M点与C₁重合．   （12分）

点评：本题以正三棱柱为载体，考查线面平行，考查面面角，同时考查了几何体的体积，综合性强．