Question

已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，若f（0）=1，已知e为自然对数的底，则（　　）

• A、f（1）＞e，f（2013）＞e²⁰¹³
• B、f（1）＞e，f（2013）＜e²⁰¹³
• C、f（1）＜e，f（2013）＞e²⁰¹³
• D、f（1）＜e，f（2013）＜e²⁰¹³

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据选项的特点，令g（x）=

f(x)

ex

，对其进行求导，根据已知条件f（x）＜f′（x），可以判断g（x）的单调性，从而可判定选项的正确与否．

解答： 解：f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f'（x）对于x∈R恒成立，
令g（x）=

f(x)

ex

，
∴g′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

＞0，
∴g（x）是R上的增函数，
∵f（0）=1，
∴

f(2013)

e2013

＞

f(0)

e0

=1，

f(1)

e

＞

f(0)

e0

=1
∴f（2013）＞e²⁰¹³，f（1）＞e，
故选：A．

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数g（x），是一道好题．另外我们的一般规律是看到f（x）＜f'（x）时，就应该想到构造函数g（x）=

f(x)

ex

．