Question

6．已知函数f（x）=||x-2|-2|，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实根x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则$\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_3}{x_4}}}$的取值范围是（　　）

• A． （-1，0）
• B． （-$\frac{1}{2}$，0）
• C． （-2，0）
• D． （-$\frac{1}{3}$，0）

Answer 1

分析 求出函数f（x）的表达式，作出函数f（x）的图象，用m分别表示出x₁，x₂，x₃，x₄，结合分式的性质进行求解即可．

解答 解：f（x）=||x-2|-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-x，}&{x＜0}\\{x，}&{0≤x≤2}\\{-x+4，}&{2＜x＜4}\\{x-4，}&{x≥4}\end{array}\right.$，
由图可知，若f（x）=m的四个互不相等的实数根，则m∈（0，2）
且x₁，x₂，x₃，x₄分别为：
-x₁=m，x₂=m，-x₃+4=m，x₄-4=m，
即x₁=-m，x₂=m，x₃=4-m，x₄=4+m，
∴$\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_3}{x_4}}}$=$\frac{-{m}^{2}}{（4-m）（4+m）}$=$\frac{-{m}^{2}}{16-{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}-16}$
=$\frac{{m}^{2}-16+16}{{m}^{2}-16}$=1+$\frac{16}{{m}^{2}-16}$，
∵m∈（0，2）
∴m²∈（0，4），m²-16∈（-16，-12）
$\frac{16}{{m}^{2}-16}$∈（-$\frac{4}{3}$，-1），
则1+$\frac{16}{{m}^{2}-16}$∈（-$\frac{1}{3}$，0），
即$\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_3}{x_4}}}$的取值范围是（-$\frac{1}{3}$，0），
故选：D．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的解析式，利用数形结合分别用m表示出x₁，x₂，x₃，x₄的值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．