Question

1．已知圆内接四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=4，DA=8，则该圆的半径为3．

Answer 1

分析 连接AC，在△ABC、△ACD中分别用由余弦定理求AC²，两式右边相等消去AC²，式子两角是互补的，得出角的正弦值，可求出sin∠ADC和AC，利用正弦定理得直径，除以2得半径．

解答 解：连接AC，在△ABC中由余弦定理，得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=3²+3²-2×3×3cos∠ABC=18-18cos∠ABC，
在△ACD中由余弦定理，得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC
=4²+8²-2×4×8cos∠ADC=80-64cos∠ADC，
从而得18-18cos∠ABC=80-64cos∠ADC，
又∠ADC=π-∠ABC，故cos∠ADC=$\frac{31}{41}$
sin∠ADC=$\frac{2\sqrt{205}}{41}$，AC=$\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{41}}$
所以2R=$\frac{\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{41}}}{\frac{2\sqrt{205}}{41}}$=3，
故答案为：3．

点评 本题两次用到余弦定理，衔接点有两处，一是有一条公共边，二是式子中两个角互补，圆内接四边形的对角补，要从图中读出，这点很重要；正弦定理记忆的时候要全面，它的比值是三角形外接圆的直径，知道这一点，问题迎刃而解．