Question

15．定义在（0，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x）的导数为f′（x），且恒有f（x）+f′（x）•tanx＞0成立，则（　　）

• A． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＞f（$\frac{π}{6}$）
• C． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜2f（$\frac{π}{6}$）
• D． f（$\frac{π}{4}$）＞$\frac{1}{2}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 把给出的等式变形得到[f（x）sinx]′＞0，由此联想构造辅助函数，即可得到答案．

解答 解：因为x∈（0，$\frac{π}{2}$），所以sinx＞0，cosx＞0，
由f（x）+f′（x）•tanx＞0，得f（x）cosx+f′（x）sinx＞0，
即[f（x）sinx]′＞0．
∴g（x）=f（x）sinx在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，
则g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$）＜g（1）＜g（$\frac{π}{3}$），
即f（$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$＜f（$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$＜f（1）sin1＜f（$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
对照选项，可得B正确，
故选：B．

点评 本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．