Question

17．已知函数f（x），g（x）满足关系$g（x）=f（x）•f（{x+\frac{π}{2}}）$，
（1）设f（x）=cosx+sinx，求g（x）的解析式；
（2）当f（x）=|sinx|+cosx时，存在x₁，x₂∈R，对任意x∈R，g（x₁）≤g（x）≤g（x₂）恒成立，求|x₁-x₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据$g（x）=f（x）•f（{x+\frac{π}{2}}）$，当f（x）=cosx+sinx，带入化简可得g（x）的解析式；
（2）根据$g（x）=f（x）•f（{x+\frac{π}{2}}）$，当f（x）=cosx+|sinx|，带入化简可得g（x）的解析式；存在x₁，x₂∈R，对任意x∈R，g（x₁）≤g（x）≤g（x₂）恒成立，根据象限去掉绝对值，讨论g（x）的最大值和最小值可得|x₁-x₂|的最小值．

解答 解：由$g（x）=f（x）•f（{x+\frac{π}{2}}）$，
（1）当f（x）=cosx+sinx，
可得g（x）=（cosx+sinx）[cos（x+$\frac{π}{2}$）+sin（x+$\frac{π}{2}$）]
=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x．
∴g（x）的解析式为g（x）=cos2x．
（2）f（x）=|sinx|+cosx时，可得g（x）=（|sinx|+cosx）（|cosx|-sinx）=$\left\{\begin{array}{l}{cos2x，2kπ＜x≤\frac{π}{2}+2kπ}\\{-sin2x-1，\frac{π}{2}+2kπ＜x≤π+2kπ}\\{-cos2x，π+2kπ＜x≤\frac{3π}{2}+2kπ}\\{1-sin2x，\frac{3π}{2}+2kπ＜x≤2π+2kπ}\end{array}\right.$，k∈Z．
∵存在x₁，x₂∈R，对任意x∈R，g（x₁）≤g（x）≤g（x₂）恒成立，
当x₁=2kπ+π或2k$π+\frac{π}{2}$时，可得-1≤g（x）．
当x₂=2kπ+$\frac{7π}{4}$时，可得g（x）≤2．
那么：|x₁-x₂|=|2kπ+π-（2kπ+$\frac{7π}{4}$）|=$\frac{3π}{4}$
或者：x₁-x₂|=|2kπ+$\frac{π}{2}$-（2kπ+$\frac{7π}{4}$）|=$\frac{5π}{4}$
∴|x₁-x₂|的最小值为$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质以及分段函数最值的讨论问题．属于中档题．