Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S₂=2，且a_n-S_n+1，λ+a_n+1（λ≠0），S_n+2成等差数列，则数列{${2}^{{a}_{n+2}-{a}_{n}}$}的前n项和T_n的表达式为$\frac{{{4^λ}（{1-{4^{2nλ}}}）}}{{1-{4^{2λ}}}}$．（用含有λ的式子表示）

Answer 1

分析 利用等差数列，推出关系式，构造新数列{b_n}即{a_n+1-a_n}，推出数列是等差数列，然后求解数列的和即可．

解答 解：∵a_n-S_n+1，λ+a_n+1（λ≠0），S_n+2成等差数列，
∴2λ+2a_n+1=a_n-S_n+1+S_n+2=a_n+a_n+2．可得：a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2λ．令b_n=a_n+1-a_n
∴b_n+1-b_n=2λ，b₁=a₂-a₁=0．所以{b_n}是以0为首项，公差为2λ的等差数列，
所以b_n=b₁+（n-1）2λ=2λ（n-1）．
a_n+1-a_n=2（n-1）λ，a_n+2-a_n=2（a_n+1-a_n）+2λ=2（2n-1）λ，
∴${2}^{{a}_{n+2}-{a}_{n}}$=4^（2n-1）λ，
T_n=4^λ+4^3λ+4^5λ+…+4^（2n-1）λ=$\frac{{4}^{λ}（1-{4}^{2nλ}）}{1-{4}^{2λ}}$．
②-①，得2（a_n+2-a_n+1）=（a_n+1-a_n）+（a_n+3-a_n+2），
故答案为：$\frac{{{4^λ}（{1-{4^{2nλ}}}）}}{{1-{4^{2λ}}}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．