Question

10．点E是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体对角线BD₁上靠近点B的四等分点，在正方体内随机取一点M，则点M满足MD₁≥2ME的概率为$\frac{\sqrt{3}π}{16}$．

Answer 1

分析 设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，以D为原点，分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，再设M（x，y，z），利用|MD₁|≥2|MP|得出M的轨迹是以B为球心，r=2$\sqrt{3}$的球及其内部，计算对应的体积比，利用几何概率求出概率值．

解答 解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，
以D为原点，分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示；

则P（3，3，1），D₁（0，0，4），
设M（x，y，z），则|MD₁|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}{+（z-4）}^{2}}$，
|MP|=$\sqrt{{（x-3）}^{2}{+（y-3）}^{2}{+（z-1）}^{2}}$，
由|MD₁|≥2|MP|，得
$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}{+（z-4）}^{2}}$≥2$\sqrt{{（x-3）}^{2}{+（y-3）}^{2}{+（z-1）}^{2}}$，
整理得$\sqrt{{（x-4）}^{2}{+（y-4）}^{2}{+（z-0）}^{2}}$≤2$\sqrt{3}$，
即M的轨迹是以B为球心，r=2$\sqrt{3}$的球及其内部，
在正方体中，相当于$\frac{1}{8}$球体，
∴V_M=$\frac{1}{8}$×$\frac{4}{3}$π•r³=4$\sqrt{3}π$；
又V_正方体=4³=64，
∴在正方体内随机取一点M，点M满足MD₁≥2ME的概率为
P=$\frac{{V}_{M}}{{V}_{正方体}}$=$\frac{{\sqrt{3}π}}{16}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}π}{16}$．

点评 本题考查了几何概型的概率计算问题，也考查了对应体积的比值问题，是综合题．