Question

设函数.
(1) 试问函数f(x)能否在x= 时取得极值？说明理由；
(2) 若a= ，当x∈［,4］时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求c的取值范围.

Answer 1

（1）f(x)在x=-1处无极值.  （2）或c=

试题分析：解：（1） 由题意f′(x)=x²-2ax-a，
假设在x= -1时f(x)取得极值，则有f′(-1)=1+2a-a=0,∴a=-1，
而此时,f′(x)=x²+2x+1=(x+1)2≥0，函数f(x)在R上为增函数，无极值.
这与f(x)在x=-1有极值矛盾，所以f(x)在x=-1处无极值.
（2） 设f(x)=g(x)，则有x³-x²-3x-c=0，∴c=x³-x²-3x,
设F(x)= x³-x²-3x,G(x)=c，令F′(x)=x²-2x-3=0,解得x₁=-1或x=3.
列表如下：

x	-3	(-3,-1)	-1	(-1,3)	3	(3,4)	4
F′(x)		+	0	-	0	+
F(x)	-9	增		减	-9	增	-

由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函数，在(-1,3)上是减函数.
当x=-1时，F(x)取得极大值；当x=3时，F(x)取得极小值
F(-3)=F(3)=-9，而.
如果函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，
所以或c=
点评：主要是考查了导数在研究函数单调性以及函数极值中的运用，属于基础题。