Question

4．设p：方程$\frac{x^2}{1-2m}+\frac{y^2}{m+2}$=1表示椭圆；q：?x∈R，2x²+mx-$\frac{3}{8}$m＞0．求使“p∧q”为真命题的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q的m的范围，结合“p∧q”为真命题，得到不等式组，解出m的范围即可．

解答 解：关于p：方程$\frac{x^2}{1-2m}+\frac{y^2}{m+2}$=1表示椭圆，
则$\left\{\begin{array}{l}{1-2m＞0}\\{m+2＞0}\end{array}\right.$，解得：-2＜m＜$\frac{1}{2}$；
又1-2m≠m+2，解得：m≠-$\frac{1}{3}$，
故：-2＜m＜$\frac{1}{2}$且m≠-$\frac{1}{3}$，
关于q：?x∈R，2x²+mx-$\frac{3}{8}$m＞0，
则△=m²-4×2×（-$\frac{3}{8}$m）＜0，解得：-3＜m＜0；
若p∧q为真命题，则p，q均为真命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜m＜\frac{1}{2}}\\{-3＜m＜0}\end{array}\right.$，解得：-2＜m＜0，且m≠-$\frac{1}{3}$，
∴实数m的取值范围是（-2，-$\frac{1}{3}$）∪（-$\frac{1}{3}$，0）．

点评 本题考查了椭圆的定义，考查二次函数的性质，复合命题的判断，是一道中档题．