Question

17．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=e^kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．
（1）求该食品在30℃的保鲜时间；
（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e^k，e^b的值，运用指数幂的运算性质求解e^30k+b即可．
（2）由题意y=e^kx+b≥80，结合指数幂的运算法则进行求解即可．

解答 解：（1）由题意，$\left\{{\begin{array}{l}{160={e^b}}\\{40={e^{20k+b}}}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{e^b}=160}\\{{e^{10k}}=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$…（2分）
∴当x=30时，$y={e^{30k+b}}={（{e^{10k}}）^3}•{e^b}=\frac{1}{8}•160=20$．…（4分）
答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时．…（5分）
（2）由题意y=e^kx+b≥80，∴${e^{kx}}≥\frac{80}{160}=\frac{1}{2}={e^{10k}}$，…（7分）
∴kx≥10k．
由${e^{10k}}=\frac{1}{2}$可知k＜0，故x≤10．…（9分）
答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃．…（10分）

点评 本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．