Question

设f(x)=

1

2

ax2-x-lnx
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的定义域及函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，在定义域下令导函数小于0得到函数的递减区间．
（2）求导数，结合函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，得到导函数f′（x）≥0在[2，+∞）上，则可求a的取值范围．

解答： 解：由于f（x）=x²-x-lnx（x＞0）
则f′(x)=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

令f′(x)≥0⇒

(2x-1)(x-1)≥0 x＞0

⇒x≥1
令f′(x)＜0⇒

(2x-1)(x-1)＜0 x＞0

⇒0＜x＜1
所以f（x）在（0，1）单调递减，在[1，+∞）上单调递增；
（2）f′(x)=ax-1-

1

x

=

ax2-x-1

x

由f′（x）≥0，又x＞0，
所以ax²-x-1≥0，即a≥

1

x2

+

1

x

=(

1

x

+

1

2

)2-

1

4

由x∈[2，+∞)⇒0＜

1

x

≤

1

2

所以(

1

x2

+

1

x

)max=

3

4

即a∈[

3

4

，+∞)
得a≥

3

4

．

点评：求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．