题目内容
11．在平面直角坐标系中，直线L的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-tcos\frac{3π}{4}}\\{y=\sqrt{5}+tsin\frac{3π}{4}}\end{array}\right.$（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为$ρ=2\sqrt{5}sinθ$．（Ⅰ）写出直线L的倾斜角α和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 P坐标为$（{3，\sqrt{5}}）$，圆C与直线L交于 A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
分析 （Ⅰ）直线L的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-tcos\frac{3π}{4}}\\{y=\sqrt{5}+tsin\frac{3π}{4}}\end{array}\right.$（t为参数）．消去参数t可得：直线L的普通方程，利用斜率与倾斜角的关系可得α．圆C的方程为$ρ=2\sqrt{5}sinθ$，即 ρ2=2$\sqrt{5}$ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线L的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+3$\sqrt{2}$t+4=0，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．
解答 解：（Ⅰ）直线L的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-tcos\frac{3π}{4}}\\{y=\sqrt{5}+tsin\frac{3π}{4}}\end{array}\right.$（t为参数）．
消去参数t可得：直线L的普通方程为x+y-3+$\sqrt{5}$=0，
则tanα=-1，
∴α=$\frac{π}{4}$．
圆C的方程为$ρ=2\sqrt{5}sinθ$，即 ρ2=2$\sqrt{5}$ρsinθ，
利用互化公式可得：直角坐标方程为x2+（y-$\sqrt{5}$）2=5．
（Ⅱ）把直线L的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得t2+3$\sqrt{2}$t+4=0，
设t1，t2是上述方程的两实数根，
又直线L过点P（3，$\sqrt{5}$），A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|•|PB|=4．
点评 本题考查了参数方程化为普通方程及其意义、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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