Question

（本题满分14分）设函数，

(1)求的单调区间

(2)若为整数，且当时，，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）若，在（-∞，+∞）上单调递增；若，在单调递减，在上单调递增；（2）

【解析】

试题分析：（1）函数的定义域是，

若，则，所以函数在（-∞，+∞）上单调递增．

若，则当时，；

当时，；所以，在单调递减，在上单调递增．                                                            ……6分

（II）由于，所以，，

故当时，等价于      ①

令，则

由（I）知，函数在上单调递增，而，

所以在上存在唯一的零点，

故在上存在唯一的零点，

设此零点为，则有，

当时，；当时，；所以在上的最小值为．又由，可得，所以，

由于①式等价于，故整数的最大值为.                          ……14分

考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造新函数求解恒成立问题，考查学生构造函数的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.

点评：函数的单调性、极值、最值问题一般都要借助于导数这个工具，而恒成立问题一般转化为求最值问题解决.