题目内容
已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-8，8]时，求函数y=f（x）的单调区间．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,余弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得此函数的单调性．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得此函数的单调性．
解答：
解：（Ⅰ）由图象知A=2，T=8，∵T=
=8，∴ω=
，
又图象经过点（-1，0），∴2sin（-
+φ）=0，
∵|φ|＜
，∴φ=
，∴f（x）=2sin（
x+
）．
（Ⅱ）∵y=f（x）+f（x+2）=2sin（（
x+
）+2sin（
x+
+
）
=2sin（
x+
）+2cos（
x+
）=2
sin（
x+
）=2
cos
x，
令 2kπ-π≤
x≤2kπ，k∈z，求得 8k-4≤x≤8k，故函数的增区间为[8k-4，8k]．
令 2kπ≤
x≤2kπ+π，k∈z，求得 8k≤x≤8k+4，故函数的减区间为[8k，8k+4]．
再结合 x∈[-8，8]，可得函数的增区间为[-4，0]、[4，8]，减区间为[-8，-4]、[0，4]．
| 2π |
| ω |
| π |
| 4 |
又图象经过点（-1，0），∴2sin（-
| π |
| 4 |
∵|φ|＜
| π |
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| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
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（Ⅱ）∵y=f（x）+f（x+2）=2sin（（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
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| π |
| 2 |
| π |
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=2sin（
| π |
| 4 |
| π |
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| π |
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| π |
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| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
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| π |
| 4 |
令 2kπ-π≤
| π |
| 4 |
令 2kπ≤
| π |
| 4 |
再结合 x∈[-8，8]，可得函数的增区间为[-4，0]、[4，8]，减区间为[-8，-4]、[0，4]．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角恒等变换，余弦函数的单调区间，属于基础题．
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