Question

如图，曲线C₁：=1（b＞a＞0，y≥0）与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的交点分别为A，B，曲线C₁与抛物线C₂在点A处的切线分别为l₁和l₂，且斜率分别为k₁和k₂．
（I）k₁•k₂是否与p无关？若是，给出证明；若否，给以说明；
（Ⅱ）若l₂与y轴的交点为D（0，-2），当a²+b²取得最小值9时，求曲线C₁与抛物线C₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导函数，分别求出k₁和k₂，计算k₁•k₂，可得k₁•k₂仅与a，b有关，与p无关；
（II）先确定A的坐标，代入曲线C₁的方程，利用基本不等式，结合a²+b²取得最小值9，即可求曲线C₁与抛物线C₂的方程．
解答：解：（I）设
得，
则…（2分）
由，则，
所以，（※）   …（4分）
又因为，
则．
代入（※）式得．
可见，k₁•k₂仅与a，b有关，与p无关．   …（6分）
（II）如图，设
由（I）知．…（7分）
又，
所以…（8分）
将点A的坐标代入曲线C₁的方程得．
则，…（10分）
当且仅当“=”成立时，有…（11分）
解得．…（14分）
点评：本题考查曲线方程，考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．