Question

如图，曲线C₁是以原点O为中心、F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点、F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，若|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

，
（1）求曲线C₁和C₂的方程；
（2）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C₁、C₂依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为在椭圆中2a=|AF₁|+|AF₂|=

7

2

+

5

2

=6，所以可求曲线C₁方程．，因为曲线C₂是以O为顶点、F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点．|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

，所以利用抛物线定义，可求，曲线C₂方程．
（2）先设出B、C、D、E四点坐标，过F₂作的与x轴不垂直的直线方程，在分别与椭圆方程，抛物线方程联立，利用根与系数关系，求

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

的值，看结果是否为定值．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

= 1，则2a=|AF₁|+|AF₂|=

7

2

+

5

2

=6，得a=3
设A（x，y），F₁（-c，0），F2（c，0∵|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

则(x+c)2+y2=(

7

2

)2
    (x-c)2+y2=(

5

2

)2，两式相减得xc=

3

2

，由抛物线定义可知，|AF₂|=x+c=

5

2

则c=1，x=

3

2

或x=1，c=

3

2

（舍去）
所以椭圆方程为 

x2

9

+

y2

8

= 1        抛物线方程为y²=4x
（2）设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
设过F₂作一条与x轴不垂直的直线方程为y=k（x-1），代入

x2

9

+

y2

8

= 1，
得（8+9k²）y²+16ky-64k²=0
∴y₁+y₂=-

16k

8+9k2

，y₁y₂=

64k2

8+9k2

同理，把y=k（x-1）代入y²=4x，得，ky²-4y-4k=0，y₃+y₄=

4

k

，y₃y₄=-4
   所以 

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

=

|y1-y2|

|y3-y4|

•

1 2 |y3+y4|

1 2 |y1+y2|

=

(y1-y2)2(y3+y4)2 (y1+y2 )2 (y3-y4)2

=

[(y1+y2)2-4y1y2](y3+y4)2 (y1+y2 )2[ (y3+y4)2-4y3y4]

=

[ (16k)2 (8+9k2)2 + 4×64k2 8+9k2 ]( 4 k )2 (16k)2 (8+9k2)2 [( 4 k )2+16]

=3

点评：本题考察了椭圆，抛物线与直线的位置关系，掌握设而不求思想的应用．